Albert Coste s’initie dans un premier temps à la musique grâce à sa mère musicienne. En 1909, il suit parallèlement les cours des Beaux Arts de Marseille et ceux du conservatoire de musique.
Un accident de tramway en 1916 l’oblige à subir une amputation de l’index et du majeur de la main gauche. Il est réformé définitivement, et sa carrière de violoncelliste est compromise. Dès lors il se consacre plus particulièrement à la peinture et poursuit ses études à Paris dans l’atelier de Cormon.
À partir de 1920, il participe à de nombreuses expositions collectives, et à des Salons à Paris, et à Aix-en-Provence, rencontre Maurice Denis et fréquente son atelier. Il réalise avec ce dernier les fresques de la chapelle de Thonon.
En 1922, il  se fixe aux environs d’Aix tout en continuant à participer aux principales expositions collectives de Paris (Indépendants, Réalités Nouvelles, Salon d’Automne…).
En 1933, à Aix-en-Provence, l’artiste fait sa première exposition personnelle, présentée par Maurice Denis.
En 1935 il est nommé professeur à l’Ecole des Beaux-Arts d’Aix en Provence.
En 1941/1942, il rencontre Albert Gleizes à Saint Rémy de Provence et reste profondément lié à lui jusqu’à sa mort. Gleizes présente notamment l’exposition qu’il fait de ses œuvres en 1942 à Aix. Il organise de son côté de 1953 à 1956 des expositions pour faire connaître l’œuvre de Gleizes et de ses disciples.
Il réalise de nombreuses décorations pour des bâtiments publics et particulièrement la Faculté de Droit d’Aix, dont l’architecte est Fernand Pouillon.
Albert Coste participe à une exposition collective avec Gleizes, Delaunay, Villon, Herbin, Léger et en 1967 avec Calder, Masson, Messagier.

Peignant d’abord des natures mortes et divers sujets dans un esprit proche de Gauguin et des Nabis, il s’engagea ensuite dans la voie de l’abstraction, avec des compositions très proches de Gleizes, alors en accord avec son esprit général de l’abstraction française de l’après-guerre, autour de Bissière, Manessier, Lapicque.

Ses œuvres sont aujourd’hui conservées à la Fondation Albert Gleizes à Paris, au Musée Longchamp à Marseille, au Musée Réattu à Arles, Au musée de la Ville de Carpentras, …